ALJABAR LINIER

SPLDV

3.1  SPLDV adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu dan apabila digambarkan dalam sebuah grafik maka akan membentuk garis lurus. Dan karena hal ini lah maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier.

3.2  Ciri – Ciri SPLDV

• Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = )
• Memiliki dua variabel
• Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )

3.4  Hal – hal Yang Berhubungan Dengan SPLDV

a. Suku

Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan

Contoh :

6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4

b. Variabel

Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk.

Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah

• Nanas = x
• Jeruk = y
• Persamannya adalah 2x + 5y

c. Koefisien 

Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah :

Jawab :

• Nanas = x dan Jeruk = y
• Persamannya adalah 2x + 5y
• Dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y

d. Konstanta 

Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai perubahnya

Contoh :

2x + 5y  + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah  7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya

Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami sebelum kita memahami tentang rumus spldv.

3.5  Syarat Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dapat memiliki satu penyelesaian, yaitu :

• Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis
• Persamaan linier dua variabel yang membentuk sistem persamaan linier dua variabel, bukan persamaan linier dua variabel yang sama

Jadi kedua syarat ini wajib bisa terpenuhi sebelum kita menghitung persamaan linier dua variabel.

3.6Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel 

Untuk menyelesaikan cara menghitung spldv (sistem persamaan linier dua variabel) maka dapat diselesaikan dengan 4 metode berikut ini :

1.     Metode Substitusi

2.     Metode Eliminasi

3.     Metode Gabungan (Subsitusi dan Eliminasi)

4.     Metode Grafik

Untuk lebih jelas tentang ke-4 metode diatas disini RumusRumus.com akan membahas secara lengkap metode penyelesaian spldv beserta contoh soal spldv dan pembahasannya.

1. Metode Substitusi atau Metode Mengganti

Metode substitusi, yaitu metode atau cara menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu peubah atau variabel.

Berikut ini langkah – langkah untuk menyelesaikan spldv menggunakan metode Substitusi :

1.     Ubahlah salah satu dari persamaan menjadi bentuk x = cy + d atau y = ax + b

o    a, b, c, dan d adalah nilai yang ada pada persamaan

o    Triknya kalian harus mencari dari 2 persamaan carilah salah satu persamaan yang termudah

2.     Setelah mendapatkan persamaannya substitusi kan nilai x atau y

3.     Selesaikan persamaan sehingga mendapatkan nilai x ataupun y

4.     Dapatkan nilai variabel yang belum diketahui dengan hasil langkah sebelumnya.

Contoh Soal Spldv Dengan Metode Substitusi

Contoh Soal 1

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan Pertama = x + 3y = 15
Persamaan Kedua = 3x + 6y = 30

Langkah Pertama : Ubah salah satu persamaan, carilah yang termudah

x + 3y = 15 —> x = -3y + 15

Langkah Kedua :Subsititusi nilai  x = -3y + 15  ke dalam persamaan kedua untuk mencari nilai y , maka hasilnya sebagai berikut :

3x + 6y = 30
3 ( -3y +15 ) + 6y = 30
-9y + 45 + 6y = 30
-3y = 30 – 45
-3y = -15
y = 5

Langkah Ketiga :Selanjutnya untuk mencari nilai x maka, gunakan salah satu persamaan boleh persamaan pertama atau kedua :

Dari Persamaan Pertama :
+ 3y = 15
x + 3 ( 5 ) = 15
x + 15 = 15
x = 0

Dari Persamaan Kedua :
3x + 6y = 30
3x + 6 ( 5 ) = 30
3x + 30 = 30
3x = 0
x = 0

Langkah Keempat : Maka nilai Jadi HP = { 0 , 5 }

Contoh Soal 2

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan Pertama = 3x+ 5y = 16
Persamaan Kedua = 4x + y = 10

Langkah Pertama : Ubah salah satu persamaan, carilah yang termudah

4x + y = 10 —> y = -4x + 10

Langkah Kedua :Subsititusi nilai 4x + y = 10  ke dalam persamaan kedua untuk mencari nilai x , maka hasilnya sebagai berikut :

3x + 5y = 16
3x + 5 ( -4x + 10 ) = 16
3x – 20x + 50 = 16
-17x = 16 – 50
-17x = -34
x = 2

Langkah Ketiga :Selanjutnya untuk mencari nilai y maka, gunakan salah satu persamaan boleh persamaan pertama atau kedua :

Dari Persamaan Pertama :

3x + 5y = 16
3(2) + 5y = 16
6 +5y = 16
5y = 16 – 6
5y = 10
y = 2

Dari Persamaan Kedua :

4x + y = 10
4(2) + y = 10

8 +y = 10
y = 2

Langkah Keempat : Maka, kita ketahui nilai x = 2 dan nilai y = 2 . Dan Yang ditanyakan adalah nilai a dan b , dimana x = a dan y = b , maka :

x = a = 2
y = b = 2

2. Metode Eliminasi atau Metode Menghilangkan

Langkah – langkah menyelesaikan spldv dengan metode eliminasi :

• Metode eliminasi adalah Metode atau cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara mengeliminasi atau menghilngkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut.
• Cara untuk menghilangkan salah satu peubahnya yaitu dengan cara perhatikan tandanya, apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-) ] , maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan. Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan.

Untuk lebih jelasnya tentang langkah – langkah diatas maka perhatikan contoh soal spldv eliminasi di bawah ini :

Contoh Soal SPLDV Eliminasi 1

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan 1 = x + 3y = 15
Persamaan 2 = 3x + 6y = 30

Langkah Pertama yaitu menentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu. Kali ini kita akan menghilangkan x terlebih dahulu, dan supaya kita temukan nilai y . Caranya yaitu :

3x + 6y = 30    : 3
x + 2y = 10 . . . . ( 1 )
x + 3y = 15 . . . .(2)

Langkah Kedua Dari persamaan (1) dan (2), mari kita eliminasi, sehingga hasilnya :

x + 3y = 15
x + 2y = 10     _
y = 5

Langkah Ketiga Selanjutnya, untuk mengetahui nilai x , maka caranya sebagai berikut :

x + 3y    = 15  | x2 | <=> 2x + 6y = 30   . . . .( 3 )
3x + 6y = 30  | x1 | <=> 3x + 6y = 30  . . .. (4 )

Eliminasi antara persamaan (3) dengan (4 ), yang hasilnya menjadi :

3x + 6y = 30
2x + 6y = 30   _
x = 0

Maka, Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 0 . 5 }

Contoh Soal SPLDV Eliminasi 2

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan 1 = 3x+ 5y = 16
Persamaan 2 = 4x + y = 10

Langkah Pertama yaitu tentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu perhatikan penyelesaian di bawah ini :

3x+ 5y = 16  |x1 | <=> 3x + 5y = 16 . . . .( 1 )
4x + y = 10 | x5 | <=> 20x + 5y = 50 . . .  ( 2 )

Dari persamaan (1 ) dan (2 ), dapat kita eliminasi dan menghasilkan :

20x + 5y = 50
3x + 5y = 16     _
17 x + 0 = 34
x = 34 / 17
x = 2

Langkah Kedua Selanjutnya, lakukan langkah yang sama namun kali ini yang harus sama x nya , maka caranya adalah :

3x+ 5y = 16 | x4 | <= > 12 x + 20y = 64 . . .(3)

4x + y = 10 | x3 | <=> 12x + 3y =  30 . . . .(4)

Langkah Ketiga Persamaan (3) dan (4) , mari kita eliminasi untuk menghasilkan nilai y :

12 x + 20y = 64
12x + 3y =  30     _
0 + 17y = 34
y = 2

Jadi , HP ={ 2 ,2 } , dan nilai a dan b adalah :

a= x = 2 dan b = y = 2

3. Metode Campuran (Eiminasi dan Substitusi) Atau Gabungan

Metode campuran atau biasa disebut juga dengan metode gabungan, yaitu suatu cara atau metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan mengunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan.

Karena pada masing – masing metode mempunyai keunggulan masing – masing diantaranya ialah :

• Metode Eliminasi mempunyai keunggulan baik di awal penyelesaian.

·         Metode substitusi mempunyai keunggulan baik diakhir penyelesaian.

• Maka dengan menggabungkan ke-2 metode ini akan mempermudah dalam meneyelasikan spldv

Untuk lebih jelas tentang penggunaan metode gabungan / campuran spldv ini maka silahkan perhatikan contoh soal spldv gabungan dibawah ini :

Contoh Soal SPLDV Metode Gabungan

1. Diketahui persamaan  x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30, dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan 1 = x + 3y = 15
Persamaan 2 = 3x + 6y = 30

Langkah Pertama Menggunakan Metode Eliminasi :

x + 3y = 15  |x3| <=> 3x +9x = 45

3x + 6y = 30  |x1| <=> 3x + 6y = 30    _

                                            0 + 3y = 15

                                              y = 5

Langkah Kedua Menggunakan Metode Substusi :

x + 3y = 15
x + 3.5 = 15
x + 15 = 15
x = 0

Jadi himpunan penyelesaian dari soal diatas adalah HP ={ 0 , 5 }

4. Metode Grafik

Metode sistem persamaan linear dua variabel yang ke-empat ini adalah metode grafik. Berikut ini langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik sebagai berikut :

3.7  Langkah –  langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik :Langkah Pertama :

• Tentukan nilai koordinat titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-X dan juga sumbu-Y
• Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius

Langkah Kedua :

• Jika kedua garis pada grafik berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya memiliki satu anggota.
• Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Maka dapat dikatakan himpunan penyelesaiannya ialah himpunan kosong, dan dapat ditulis ∅.
• Jika kedua garis saling berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai anggota yang tak terhingga

Dari penjelasan kedua langkah diatas maka banyak anggota dari himpunan spldv sebagai berikut :

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Agar lebih memahami tentang metode grafik spldv silahkan lihat contoh soal dan pembahasan dibawah ini :

Contoh Soal Spldv Metode Grafik

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini :

Persamaan 1 : x + y = 5
Persamaan 2 : x − y = 1

Penyelesaian :

Langkah Pertama, Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y

Titik Potong untuk Persamaan 1 yaitu x + y = 5

Menentukan titik potong sumbu-x maka syaratnya y = 0
x + y = 5
x + 0 = 5
x = 5

Maka titik potong nya (5,0)

Menentukan titik potong sumbu-y maka syaratnya x = 0
x + y = 5
0 + y = 5
y = 5

Maka titik potong nya (0,5)

Titik Potong untuk Persamaan 2 yaitu x – y = 1

Menentukan titik potong sumbu-x maka syaratnya y = 0
x – y = 1
x – 0 = 1
x = 1

Maka titik potong nya (1,0)

Menentukan titik potong sumbu-y maka syaratnya x = 0
x – y = 1
0 – y = 1
y = -1

Maka titik potong nya (0,-1)

Langkah Kedua, Gambarkan grafik dari masing – masing titik potong dari kedua persamaan diatas. Maka hasilnya dapat dilihat digambar dibawah ini : 

spldv metode grafik

Dilihat dari gambar grafik di atas, maka titik potong dari kedua grafik diatas adalah di titik (3, 2)

Maka hasil dari Himpunan Penyelesaian adalah {3,2}